Question

9．如图，在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点C，若AC•AB=12，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接CD，如图，利用圆周角定理得到∠CAD+∠D=90°，再∠D=∠PBA，加上∠PAC=∠PBA，所以∠PAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）证明△ACG∽△ABC，再利用相似比得到AC²=AG•AB=12，从而得到AC=2$\sqrt{3}$．

解答 （1）证明：连接CD，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠D=90°，
∵∠PAC=∠PBA，
∠D=∠PBA，
∴∠CAD+∠PAC=90°，即∠PAD=90°，
∴PA⊥AD，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解：∵CF⊥AD，
∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，
∴∠ACF=∠D，
∴∠ACF=∠B，
而∠CAG=∠BAC，
∴△ACG∽△ABC，
∴AC：AB=AG：AC，
∴AC²=AG•AB=12，
∴AC=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了圆周角定理．