Question

20．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，作FG∥AD交BE于点G，连接FE，EF=FG．
（1）求证：∠EBF=45°；
（2）连接AC交BE于H，交FG于点M，若正方形的边长为12，DE=2AE，求HM的长度．

Answer 1

分析 （1）过点B作BN⊥EF于点N，由于FG∥AD可知∠AFG=∠FEG，从而可知EB是∠AEF的角平分线，由角平分线的性质可知AB=BN，由于AB=CB=BN，从而可知FB是∠EFC的角平分线，由角平分线的性质可知：∠NBF=∠CBF，从而可知∠EBN+∠NBF=45°．
（2）延长DA，使得AP=CF，连接PB，证明△APB≌△CFB（SAS），从而可知PB=FB，∠P=∠CFB，再证明△PEB≌△FEB（AAS），从而可知EP=EF，设MF=x，所以CF=x，EP=EF=4+x，由勾股定理可求出x=6，从而可知GM=4，再证明△AEH≌△MGH（AAS），从而可知MH=AH．

解答 解：（1）过点B作BN⊥EF于点N，
∵GF∥AD，
∴∠AEG=∠EGF，
∵EF=FG，
∴∠FEG=∠EGF，
∴∠AFG=∠FEG，
∴EB是∠AEF的角平分线，
由角平分线的性质可知：AB=BN，
∠ABE=∠NBE，
又∵AB=BC，
∴BN=BC，
∵BN⊥EF，BC⊥CF，
∴FB是∠EFC的角平分线，
由角平分线的性质可知：∠NBF=∠CBF，
∵∠ABE+∠EBN+∠NBF+∠CBF=90°，
∴∠EBN+∠NBF=45°，
即∠EBF=45°，
（2）延长DA，使得AP=CF，连接PB
在△APB与△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=CF}\\{∠PAB=∠FCB}\\{AB=BC}\end{array}\right.$
∴△APB≌△CFB（SAS）
∴PB=FB，∠P=∠CFB，
由（1）可知：∠EFB=∠CFB，
∴∠P=∠EFB
在△PEB与△FEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEB=∠FEB}\\{∠P=∠EFB}\\{EB=EB}\end{array}\right.$，
∴△PEB≌△FEB（AAS），
∴EP=EF，
设MF=x，
∵∠ACD=45°，
∴CF=x，CM=$\sqrt{2}$x，
DF=12-x，
∵DE=2AE，
∴DE=8，AE=4，
∵AP=CF=x，
∴EP=EF=4+x，
在Rt△DEF中，
∴由勾股定理可知：（4+x）²=（12-x）²+8²，
解得：x=6，
∴CF=DF=6，
∵EF=PF=10，
∴GM=GF-MF=4，
∴AE=GM，
在△AEH与△MGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEH=∠HGM}\\{∠AHE=∠MHG}\\{AE=GM}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△MGH（AAS），
∴AH=MH，
∵AM=AC-CM=12$\sqrt{2}$-6$\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$，
∴MH=$\frac{1}{2}$AM=3$\sqrt{2}$

点评 本题考查正方形的性质，涉及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识．