Question

如图，Rt△AB'C'是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC'交斜边于点E，CC'的延长线交BB'于点F．

【小题1】试说明：△ACE∽△FBE；
【小题2】设∠ABC＝α，∠CAC'＝β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．

Answer 1

【小题1】证明：
∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，
∴∠CAC′=∠BAB′，
∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，
∴∠ACC′=∠ABB′，又∵∠AEC=∠FEB，
∴△ACE∽△FBE．
【小题2】解：当β=2α时，△ACE≌△FBE．理由：
在△ACC′中，
∵AC=AC′，
∴∠ACC′=90°-α，在Rt△ABC中，
∠ACC′+∠BCE=90°，
即90°-α+∠BCE=90°，
∴∠BCE=90°-90°+α=α，
∵∠ABC=α，
∴∠ABC=∠BCE，
∴CE=BE，
由（1）知：△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE．

解析