Question

如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．
（1）若AC=3，AB=4，求

CC′

BB′

；
（2）证明：△ACE∽△FBE；
（3）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质可以证得：△ACC′∽△ABB′，即可求解；
（2）根据旋转的性质可以证得：AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，再根据∠AEC=∠FEB即可证明两个三角形相似；
（3）当β=2α时，△ACE≌△FBE．易证∠ABC=∠BCE，再根据CE=BE，即可证得．

解答：（1）解：∵AC=AC′，AB=AB′，
∴

AC′

AC

=

AB′

AB

由旋转可知：∠CAB=∠C′AB′，
∴∠CAB+∠EAC′=∠C′AB′+∠EAC′，即∠CAC′=∠BAB′，
又∵∠ACB=∠AC′B′=90°，
∴△ACC′∽△ABB′，
∵AC=3，AB=4，
∴

CC′

BB′

=

AC

AB

=

3

4

；

（2）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，（1分）
∴∠CAC′=∠BAB′，
∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，
∴∠ACC′=∠ABB′，（3分）
又∵∠AEC=∠FEB，
∴△ACE∽△FBE．（4分）

（3）解：当β=2α时，△ACE≌△FBE．理由：
在△ACC′中，
∵AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C=

180°-∠CAC′

2

=

180°-β

2

=

180°-2α

2

=90°-α，（6分）
在Rt△ABC中，
∠ACC′+∠BCE=90°，
即90°-α+∠BCE=90°，
∴∠BCE=90°-90°+α=α，
∵∠ABC=α，
∴∠ABC=∠BCE，（8分）
∴CE=BE，
由（2）知：△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE．（9分）

点评：本题主要考查了相似三角形的性质，三角形全等的判定与应用，正确理解图形旋转的性质是解题的关键．