Question

如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．
（1）证明：∠ACE=∠FBE；
（2）设∠ABC=α，∠CAC′=β，若△ACE≌△FBE，试探索α、β满足什么关系？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质可得AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，然后根据等腰三角形两底角相等列式整理即可得证；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BE=CE，根据等边对等角可得∠ABC=∠BCE，再根据∠ACB=∠BCE+∠ACC′=90°代入整理数据整理即可得解．

解答：（1）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，
∴∠ACE=

1

2

（180°-∠CAC′），∠FBE=

1

2

（180°-∠BAB′），
∴∠ACE=∠FBE；

（2）解：∵△ACE≌△FBE，
∴BE=CE，
∴∠ABC=∠BCE=α，
∵∠CAC′=β，AC=AC′，
∴∠ACE=

1

2

（180°-∠CAC′）=

1

2

（180°-β），
∵∠ACB=∠BCE+∠ACC′=90°，
∴α+

1

2

（180°-β）=90°，
整理得，β=2α．

点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形等边对等角的性质，熟练掌握各图形的性质是解题的关键．