题目内容
【题目】如图1，把矩形
放在平面直角坐标系中，边
在
轴上，边
在
轴上，连接
，且
，过点
作
平分
交
于点
．动点
在线段上运动，过作
交于
，过作
交于
．
（1）当
时，在线段上有一动点
，轴上有一动点
，连接
当
周长最小时，求周长的最小值及此时点的坐标；
（2）如图2，在（1）问的条件下，点
是直线上的一个动点，问：在轴上是否存在
点，使得
是以
为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点及对应的点的坐标，若没有，请说明理由．
【答案】（1）
周长的最小值为6，N（0,1）；（2）存在，P（
，），对应Q（0，
）或P（
，
），对应Q（0，
）．
【解析】
（1）根据角平分线、平行线以及矩形的性质得出∠EFG=30°，设EG=a，表达出△EFG的面积，求出a的值，进而求出OE的值，连接DE，DF，作点E关于y轴的对称点H，连接DH，证明△CEF≌△CDF（SAS），得到点E与点D关于AC对称，确定周长的最小值为DH，求出点D和点H的坐标，即可求出DH的值，待定系数法求出直线DH的解析式，即可求出点N的坐标；
（2）待定系数法求出直线AC的解析式，设点P（p，
p+3），①若∠QPE=90°，PQ=PE，过点P作PK⊥y轴于点K，PJ⊥x轴于点J，证明△PKQ≌△PEJ（AAS），得到QK=EJ，PK=PJ，列出方程即可求出p，进而求出P和Q的坐标；②当∠QEP=90°时，EQ=EP，过点P作PR⊥x轴于点R，证明△OQE≌△REP（AAS），得到PR=OE=，OQ=ER，列出方程即可求出p，进而得到P和Q的坐标即可．
解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠BCO=90°，BC=OA=3，
∵∠ACO=30°，
∴∠ACB=60°，
∵CD平分∠ACB，
则∠ACD=∠BCD=30°，
∵FG∥CD，
∴∠CFG=∠ACD=30°，
∴∠ACO=∠CFG=30°，
∴CG=FG，
∵EF⊥OC，∠ACO=30°，
∴∠EFC=60°，
∴∠EFG=60°-30°=30°，
设EG=a，则FG=2a，
∴EF=
，
∴
，即
，解得：a=
，
∴EF=
，FG=CG=
，
∴CE=CG+EG=+=2，
∵OA=3，∠AOC=30°，
∴AC=6，OC=
，
∴OE=，
连接DE，DF，作点E关于y轴的对称点H，连接DH，
∵∠BCD=30°，BC=3，∠B=90°，
设BD=b，则DC=2b，
∴b2+32=(2b)2，解得：b=，则DC=2，
∴CE=CD，
在△CEF与△CDF中，
CE=CD，∠ECF=∠DCF，CF=CF，
∴△CEF≌△CDF（SAS），
∴EF=DF，
∴CF垂直平分DE，
∴点E与点D关于AC对称，
∴周长的最小值为DH，
∵BD=，AB=OC=3，
∴AD=2，则D（2，3），
又∵点H（-，0），
∴DH=
，
周长的最小值为6，
设直线DH的解析式为y=kx+t，
将D（2，3），H（-，0）代入得：
，
解得：k=
，t=1，
∴y=x+1，
当x=0时，y=1，
∴N（0,1）
（2）存在，
设直线AC为y=mx+n，将点A（0,3），C（3，0）代入得：
，解得m=，n=3，
∴y=x+3，
设点P（p，p+3），
①若∠QPE=90°，PQ=PE，
如图①，过点P作PK⊥y轴于点K，PJ⊥x轴于点J，
∵∠KOJ=∠PKO=∠PJO=90°，
∴∠KPJ=90°，
∵∠QPK+∠KPE=∠JPE+∠KPE=90°，
∴∠QPK=∠EPJ，
又∵PQ=PE，∠PKQ=∠PJE=90°，
∴△PKQ≌△PEJ（AAS），
∴QK=EJ，PK=PJ，
即p=p+3，解得：p=，
∴P（，）
∴QK=EJ=-=
，
∴OQ=OK+QK=+=，
∴Q（0，）；
②当∠QEP=90°时，EQ=EP，
如图②，过点P作PR⊥x轴于点R，
∵∠QEP=90°，∠QOE=90°，
∴∠OQE+∠QEO=90°，∠QEO+∠PER=90°，
∴∠OQE=∠PER，
在△OQE与△REP中，
∠QOE=∠ERP=90°，∠OQE=∠PER，QE=EP，
∴△OQE≌△REP（AAS），
∴PR=OE=，OQ=ER，
即p+3=，解得p=，
∴P（，），
∴OQ=ER=-=，
∴Q（0，）
综上所述，P（，），对应Q（0，）或P（，），对应Q（0，）．
