Question

2．如图，在⊙O中有一个菱形ABCO，∠ABC=120°，OD⊥CB于点E，交⊙O于点D，若OE=2$\sqrt{3}$，则阴影部分的面积为（　　）

• A． 4π-12$\sqrt{3}$
• B． 4π-6$\sqrt{3}$
• C． 4π
• D． 6π

Answer 1

分析 根据菱形的性质得出∠AOC=120°，AB=BC，进一步求得∠AOB=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，∠BOD=∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°，解直角三角形OBE求得半径，然后根据S_阴影=S_扇形AOB+S_扇形BOC-S_扇形DOC-S_△AOB-S_△BOE即可求得．

解答 解：∵四边形ABCO是菱形，∠ABC=120°，
∴∠AOC=120°，AB=BC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴∠AOB=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，
∵OB=OC，OD⊥CB，
∴∠BOD=∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°，
∵OE=2$\sqrt{3}$，
∴OB=$\frac{OE}{cos30°}$=4，
∴AB=BC=4，
∵S_扇形AOB=S_扇形BOC=$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$=$\frac{8}{3}$π，S_扇形DOC=$\frac{1}{2}$=S_扇形BOC=$\frac{4}{3}$π，
∴S_阴影=S_扇形AOB+S_扇形BOC-S_扇形DOC-S_△AOB-S_△BOE
=2×$\frac{8}{3}$π-$\frac{4}{3}$π-$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$
=4π-6$\sqrt{3}$，
故选B．

点评 此题考查了扇形的面积公式，掌握扇形面积计算公式的计算方法是解决问题的关键．