Question

10．如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象交于点A（-1，4）和点B（a，1）．
（1）求反比例函数的表达式和a、b的值；
（2）若A、O两点关于直线l对称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，从而得出反比例函数解析式；再将点A、B坐标分别代入一次函数y=x+b中得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）连接AO，设线段AO与直线l相交于点M．由A、O两点关于直线l对称，可得出点M为线段AO的中点，再结合点A、O的坐标即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A（-1，4）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象上，
∴k=-1×4=-4，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{4}{x}$．
把点A（-1，4）、B（a，1）分别代入y=x+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4=-1+b}\\{1=a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=5}\end{array}\right.$．
（2）连接AO，设线段AO与直线l相交于点M，如图所示．

∵A、O两点关于直线l对称，
∴点M为线段OA的中点，
∵点A（-1，4）、O（0，0），
∴点M的坐标为（-$\frac{1}{2}$，2）．
∴直线l与线段AO的交点坐标为（-$\frac{1}{2}$，2）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解二元一次方程组以及中点坐标公式，解题的关键是：（1）由点的坐标利用待定系数法求函数系数；（2）得出点M为线段AO的中点．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用了中点坐标公式降低了难度．