Question

15．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交$\widehat{AC}$于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．
（1）求证：AC∥DE；
（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．

Answer 1

分析 （1）欲证明AC∥DE，只要证明AC⊥OD，ED⊥OD即可．
（2）作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD，首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S_{平行四边形ACDE}=AE•DM，只要求出DM即可．

解答 （1）证明：∵ED与⊙O相切于D，
∴OD⊥DE，
∵F为弦AC中点，
∴OD⊥AC，
∴AC∥DE．
（2）解：作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．
首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S_{平行四边形ACDE}=AE•DM，只要求出DM即可．（方法二：证明△ADE的面积等于四边形ACDE的面积的一半）
∵AC∥DE，AE=AO，
∴OF=DF，
∵AF⊥DO，
∴AD=AO，
∴AD=AO=OD，
∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形，
∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DO=a，
∴AO∥CD，又AE=CD，
∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴平行四边形ACDE面积=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²．

点评 本题考查切线的性质、平行四边形的性质、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．