Question

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-4ax（a＞0）与x轴正半轴交于点C，这条抛物线的对称轴与x轴交于点D，以CD为边作菱形ABCD，若菱形ABCD的顶点A、B在这条抛物线上，则菱形ABCD的面积为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 抛物线的对称轴交AB于E点，如图，通过解方程ax²-4ax=0得到C（4，0），则抛物线的对称轴为直线x=2，则D（2，0），所以CD=2，根据菱形的性质得AB=CD=AD=2，AB∥CD，接着利用抛物线的对称性得到AE=BE=1，于是利用勾股定理可计算出DE，然后根据菱形的面积公式求解．

解答 解：抛物线的对称轴交AB于E点，如图，
当y=0时，ax²-4ax=0，解得x₁=0，x₂=4，则C（4，0），
所以抛物线的对称轴为直线x=2，则D（2，0），
所以CD=4-2=2，
因为四边形ABCD为菱形，
所以AB=CD=AD=2，AB∥CD，
所以点A、B关于直线x=2对称，
所以AE=BE=1，
在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
所以菱形ABCD的面积=2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和菱形的性质．