Question

4．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，连接AD，BD．
（1）求证：∠ADC=∠ABD；
（2）若AD=2$\sqrt{3}$，⊙O的半径为3，求MD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果；
（2）由已知条件证得△ADM∽△ABD，即可得到结论．

解答 证明：（1）连接OD，如图：
∵直线CD切⊙O于点D，
∴∠CDO=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC+∠ADO=∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠ADC=∠ODB，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠ADB，
∴∠ADC=∠ABD；
（2）∵⊙O的半径为3，AB=6，
∵∠ADB=90°，
∴DB═$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}=2\sqrt{6}$，
∵∠AMD=∠ADB=90°，∠ADC=∠ABD，
∴△ADM∽△ABD，
∴$\frac{DM}{BD}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{DM}{2\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{6}$
∴DM=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．