Question

13．如图，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：
①BC平分∠ABE；②∠BCE+∠D=90°；③AC∥BE；④∠DBF=2∠ABC．
其中正确的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由BC⊥BD得到∠CBE+∠DBE=90°，∠BCD+∠D=90°，则可对②选项进行判断；再由平行线的性质得∠D=∠DBF，由角平分线定义得∠DBF=∠DBE，则∠CBE=∠BCE，而∠ABC=∠BCE，所以∠ABC=∠CBE，则可对①选项进行判断；接着由BC平分∠ACD得到∠ACB=∠BCE，所以∠ACB=∠CBE，根据平行线的判定即可得到AC∥BE，于是可对③选项进行判断；利用平行线的性质得到∠DEB=∠ABE=2∠ABC，加上∠D=∠DBE=∠DBF，∠D≠∠BED，于是可得∠DBF≠2∠ABC，则可对④选项进行判断．

解答 解：①∵BC⊥BD，
∴∠DBE+∠CBE=90°，∠ABC+∠DBF=90°，
又∵BD平分∠EBF，
∴∠DBE=∠DBF，
∴∠ABC=∠CBE，
即BC平分∠ABE，
故①正确；
②∵BC⊥BD，
∴∠CBD=90°，
∴∠BCD+∠D=90°，
故②正确；
③由AB∥CE，
∴∠ABC=∠BCE，
BC平分∠ABE、∠ACE，
∴∠ABC=∠CBE，∠ACB=∠BCE，
∴∠ACB=∠CBE，
∴AC∥BE，
故③正确；
④∵∠DEB=∠ABE=2∠ABC，
而∠D=∠DBE=∠DBF，
∠D≠∠BED，
∴∠DBF≠2∠ABC，故④错误．
故选C．

点评 本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，