题目内容
如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于点A，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知C点坐标为（6，0）．（1）求此抛物线的解析式；
（2）联结 AB，过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与抛物线的对称轴l相切，先补全图形，再判断直线BD与⊙C的位置关系并加以证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间．问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？求出△PAC的最大面积．
考点：二次函数综合题
专题：压轴题
分析：（1）设抛物线顶点式解析式为y=a（x-4）2+1，然后把点C的坐标代入解析式求出a的值，即可得解；
（2）令y=0求出点B的坐标，令x=0求出点A的坐标，然后求出OA、OB，再利用勾股定理列式求出AB，设⊙C与对称轴l相切于F，根据圆的半径求出CF，过点C作CE⊥BD于E，求出△AOB和△BEC相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出CE，然后根据直线与圆的位置关系求解即可；
（3）根据抛物线解析式设点P的坐标为（x，-
x2+2x-3），过点P作PQ∥y轴交直线AC于Q，求出直线AC的解析式并表示出点Q的坐标，然后求出PQ的长，再根据三角形的面积公式列式整理，然后利用二次函数的最值问题确定出点P的横坐标，再求出纵坐标，即可得解．
（2）令y=0求出点B的坐标，令x=0求出点A的坐标，然后求出OA、OB，再利用勾股定理列式求出AB，设⊙C与对称轴l相切于F，根据圆的半径求出CF，过点C作CE⊥BD于E，求出△AOB和△BEC相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出CE，然后根据直线与圆的位置关系求解即可；
（3）根据抛物线解析式设点P的坐标为（x，-
| 1 |
| 4 |
解答：（1）解：∵抛物线的顶点为（4，1），
∴设抛物线解析式为y=a（x-4）2+1，
∵抛物线经过点C（6，0），
∴a（6-4）2+1=0，
解得a=-
，
∴y=-
（x-4）2+1=-
x2+2x-3，
所以，抛物线的解析式为y=-
x2+2x-3；
（2）补全图形如图所示；直线BD与⊙C相离．
证明：令y=0，则-
x2+2x-3=0，
整理得，x2-8x+12=0，
解得x1=2，x2=6，
∴B点坐标（2，0），
又∵抛物线交y轴于点A，
∴A点坐标为（0，-3），
∴AB=
=
，
设⊙C与对称轴l相切于点F，则⊙C的半径CF=2，
作CE⊥BD于点E，则∠BEC=∠AOB=90°．
∵∠ABD=90°，
∴∠CBE=90°-∠ABO，
又∵∠BAO=90°-∠ABO，
∴∠BAO=∠CBE，
∴△AOB∽△BEC，
∴
=
，
即
=
，
解得CE=
＞2，
∴直线BD与⊙C相离；
（3）解：如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q，
∵A（0，-3），C（6，0），
∴直线AC解析式为y=
x-3，
设P点坐标为（m，-
m2+2m-3），
则Q点的坐标为（m，
m-3），
∴PQ=-
m2+2m-3-（
m-3）=-
m2+
m，
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ，
=
×（-
m2+
m）×6，
=-
m2+
m，
=-
（m-3）2+
，
∴当m=3时，△PAC的面积最大为
，
∵当m=3时，-
m2+2m-3=-
×32+2×3-3=
，
∴P点坐标为（3，
），
综上所述，P点的位置是（3，
），△PAC的最大面积是
．
∴设抛物线解析式为y=a（x-4）2+1，
∵抛物线经过点C（6，0），
∴a（6-4）2+1=0，
解得a=-
| 1 |
| 4 |
∴y=-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
所以，抛物线的解析式为y=-
| 1 |
| 4 |
（2）补全图形如图所示；直线BD与⊙C相离．
证明：令y=0，则-
| 1 |
| 4 |
整理得，x2-8x+12=0，
解得x1=2，x2=6，
∴B点坐标（2，0），
又∵抛物线交y轴于点A，
∴A点坐标为（0，-3），
∴AB=
| 32+22 |
| 13 |
设⊙C与对称轴l相切于点F，则⊙C的半径CF=2，
作CE⊥BD于点E，则∠BEC=∠AOB=90°．
∵∠ABD=90°，
∴∠CBE=90°-∠ABO，
又∵∠BAO=90°-∠ABO，
∴∠BAO=∠CBE，
∴△AOB∽△BEC，
∴
| CE |
| OB |
| BC |
| AB |
即
| CE |
| 2 |
| 4 | ||
|
解得CE=
| 8 | ||
|
∴直线BD与⊙C相离；
（3）解：如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q，
∵A（0，-3），C（6，0），
∴直线AC解析式为y=
| 1 |
| 2 |
设P点坐标为（m，-
| 1 |
| 4 |
则Q点的坐标为（m，
| 1 |
| 2 |
∴PQ=-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ，
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
=-
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 2 |
=-
| 3 |
| 4 |
| 27 |
| 4 |
∴当m=3时，△PAC的面积最大为
| 27 |
| 4 |
∵当m=3时，-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∴P点坐标为（3，
| 3 |
| 4 |
综上所述，P点的位置是（3，
| 3 |
| 4 |
| 27 |
| 4 |
点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，（1）用顶点形式设出抛物线解析式更简便，（2）关键在于求出两个三角形相似，（3）把△APC分成两个三角形表示出面积是解题的关键．
练习册系列答案
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方程
+
+
+…+
=1的解是（ ）
| x |
| 3 |
| x |
| 15 |
| x |
| 35 |
| x |
| 2009×2011 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
有一块如图所示的铁片下脚料，其中曲线的是一条的抛物线的一部分．要裁出一个最大的正方形是，把正方形的一边放在那条线段上，对边的端点上，求这个正方形的边长（精确到0.01cm）