题目内容
2．已知抛物线L1：y=-$\frac{1}{2}$x2绕点（0，-0.5）旋转180°得到抛物线L2：y=ax2+c．（1）求抛物线L2的解析式；
（2）如图，将抛物线L2经过平移得到抛物线L3：y=ax2-$\frac{3}{2}$x-2，抛物线L3 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，问抛物线L3上是否存在一点P，x轴上是否存在一点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图，将（1）中的抛物线经过上、下平移得到抛物线L4：y=ax2+k，一扇形OMN的顶点O放置在原点O处，点N在x轴正半轴上，点M在第一象限，且∠MON=45°，点N的坐标为（2，0），若抛物线L4与扇形OMN的边界总有两个公共点，求实数k的取值范围．
分析 （1）根据对称性找出原点（0，0）关于（0，-0.5）的对称点，由此可得出抛物线L2：y=ax2+c的顶点为（0，-1），再结合旋转的性质即可得出a的值，代入顶点坐标即可得出抛物线L2的解析式；
（2）假设存在，结合（1）找出抛物线L3的解析式，分别代入x=0、y=0找出点A、C的坐标，再分以线段AC为对角线和以线段AC为边两种情况考虑，根据平行四边形的性质找出点P、Q的坐标，结合点P在抛物线L3上，即可得出点Q的坐标；
（3）找出当点N在抛物线L4上时k的值，再根据抛物线与直线OM相切利用根的判别式找出此时的k值，找出切点的横坐标，结合点M的坐标可得出此时切点在线段OM上，综合两个k值即可得出结论．
解答 解：（1）原点（0，0）关于点（0，-0.5）的对称点为（0，-1），
∴抛物线L2：y=ax2+c的顶点为（0，-1）．
根据旋转的性质可知：a=-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
将点（0，-1）代入y=$\frac{1}{2}$x2+c中，得：c=-1，
∴抛物线L2的解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-1．
（2）假设存在，设点Q的坐标为（m，0）．
由（1）可知：抛物线L3：y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2．
当y=0时，有$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2=0，
解得：x1=-1，x2=4，
∴A（-1，0），B（4，0）．
当x=0时，y=-2，
∴C（0，-2）．
以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形分两种情况（如图3所示）：
①当线段AC为对角线时，∵AQ在x轴上，
∴CP∥AQ∥x轴．
当y=-2时，有$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2=-2，
解得：x=3或x=0（舍去），
∴P（3，-2）．
∵A（-1，0），C（0，-2），
∴此时点Q的坐标为（-1+0-3，0-2-（-2）），即（-4，0）；
②当线段AC为边时，∵A（-1，0），C（0，-2），Q（m，0），
∴点P的坐标为（m+1，-2）或（m-1，2）．
当y=-2时，有$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2=-2，
解得：x=3或x=0（舍去），
∴m+1=3，解得：m=2；
当y=2时，有$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2=2，
解得：x=$\frac{3±\sqrt{41}}{2}$，
∴m-1=$\frac{3±\sqrt{41}}{2}$，解得：m=$\frac{5±\sqrt{41}}{2}$．
综上可知：抛物线L3上存在一点P，x轴上存在一点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，此时点Q的坐标为（2，0）或（-4，0）或（$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，0）或（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，0）．
（3）由（1）可知：抛物线L4：y=$\frac{1}{2}$x2+k．
过点M做ME⊥x轴于点E，如图4所示．
∵OM=2，∠MOE=45°，
∴△MOE为等腰直角三角形，
∴OE=ME=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OM=$\sqrt{2}$，
∴点M的坐标为（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴直线OM的解析式为y=x．
当点N（2，0）在抛物线L4：y=$\frac{1}{2}$x2+k上时，有0=$\frac{1}{2}$×22+k，
解得：k=-2；
当抛物线L4：y=$\frac{1}{2}$x2+k与直线OM相切时，将y=x代入y=$\frac{1}{2}$x2+k得：x2-2x+2k=0，
△=（-2）2-4×2k=0，解得：k=$\frac{1}{2}$，
将k=$\frac{1}{2}$代入x2-2x+2k=0得：x2-2x+1=（x-1）2=0，
解得：x=1．
∵0＜1＜$\sqrt{2}$，
∴当相切时，切点在线段OM上，
∴若抛物线L4与扇形OMN的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围为-2＜k＜$\frac{1}{2}$．
点评 本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及根的判别式，解题的关键是：（1）找出抛物线L2的顶点坐标以及二次项系数；（2）分以线段AC为对角线和以线段AC为边两种情况考虑；（3）找出抛物线L4过点N和与直线OM相切时的k值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质结合三个顶点的坐标表示出第四个顶点的坐标是关键．
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