Question

如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△DEC≌△EDA；
（2）求DF的值；
（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其定点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：压轴题

分析：（1）由矩形和翻折的性质可知AD=CE，DC=EA，根据“SSS”可求得△DEC≌△EDA；
（2）根据勾股定理即可求得．
（3）由矩形PQMN的性质得PQ∥CA，所以

PE

CE

=

PQ

CA

，从而求得PQ，由PN∥EG，得出

CP

CE

=

PN

EG

，求得PN，然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得．

解答：（1）证明：由矩形和翻折的性质可知：AD=CE，DC=EA，
在△ADE与△CED中，

AD=CE DE=ED DC=EA

∴△DEC≌△EDA（SSS）；

（2）解：如图1，
∵∠ACD=∠BAC，∠BAC=∠CAE，
∴∠ACD=∠CAE，
∴AF=CF，
设DF=x，则AF=CF=4-x，
在Rt△ADF中，AD²+DF²=AF²，
即3²+x²=（4-x）²，
解得：x=

7

8

，
即DF=

7

8

．

（3）解：如图2，由矩形PQMN的性质得PQ∥CA
∴

PE

CE

=

PQ

CA

又∵CE=3，AC=

AB2+BC2

=5
设PE=x（0＜x＜3），则

x

3

=

PQ

5

，即PQ=

5

3

x
过E作EG⊥AC于G，则PN∥EG，
∴

CP

CE

=

PN

EG

又∵在Rt△AEC中，EG•AC=AE•CE，解得EG=

12

5

，
∴

3-x

3

=

PN

12 5

，即PN=

4

5

（3-x），
设矩形PQMN的面积为S，
则S=PQ•PN=-

4

3

x²+4x=-

4

3

(x-

3

2

)2+3（0＜x＜3）
所以当x=

3

2

，即PE=

3

2

时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理．