Question

11．如图所示，在四边形ABCD中．AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，请你利用旋转变换求AE的长．

Answer 1

分析 过点A作AF⊥CD交CD延长线于F，可以证明△ABE≌△ADF，即可证明四边形AECF是正方形，据此即可求解．

解答 解：过点A作AF⊥CD交CD延长线于F，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠C=90，
∴四边形AECF是矩形．
∴∠EAF=90，∠AEB=∠AFC=90，
∴∠EAD+∠DAF=90．
∵∠BAD=90，
∴∠EAD+∠BAE=90，
∴∠DAF=∠BAE．
∴在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFC=∠AEB}\\{∠BAE=∠FAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF （AAS）．
∴AF=AE，BE=DF，
∴正方形AECF．
∴AE=CE=CF，
∴BE=BC-CE=BC-AE=5-AE，DF=CF-CD=AE-CD=AE-3，
∴5-AE=AE-3，
∴AE=4．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△ABE≌△ADF是解决本题的关键．