Question

16．如图，四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=8，E是AD的中点，作射线BE，点M、N同时从点B出发，点M以每秒4个单位长度的速度沿射线BE方向运动，点N以每秒5个单位长度的速度沿射线BC方向运动．设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）连接MN，判断直线MN与直线BE的位置关系，并说明理由；
（2）当点M与点E重合时，t=$\frac{5}{4}$秒；当直线MN经过点D时，t=$\frac{41}{20}$秒；
（3）在直线MN没有经过点D之前，设△BMN与矩形ABCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）在△ABE中，由勾股定理可知BE=5，从而得到cos∠AEB=$\frac{4}{5}$，然后由MB=4t，BN=5t，可知$\frac{MB}{NB}$=cos∠EBN，于是得到MN⊥MB；
（2）当点M与点E重合时，BE=4t=5，从而可求得t=$\frac{5}{4}$，当点直线MN经过点D时，BM=BE+ME=5+$\frac{16}{5}$=$\frac{41}{5}$，由4t=$\frac{41}{5}$可求得t=$\frac{41}{20}$；
（3）如图2所示；当0＜t≤$\frac{5}{4}$时，△BMN与矩形ABCD重叠部分的面积等于△BMN的面积；如图3所示，当$\frac{5}{4}＜t≤$$\frac{8}{5}$时，S=S_△BNM-S_△EFM，如图4所示当$\frac{8}{5}＜t≤\frac{41}{20}$时，S=梯形EDCB的面积-△DFG的面积．

解答 解：（1）MN⊥BE．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，AD∥BC．
∵E是AD的中点，
∴AE=4．
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=5．
∴cos∠AEB=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{4}{5}$．
∵AE∥BC，
∴∠EBN=∠AEB．
∴cos∠EBC=$\frac{4}{5}$．
∵MB=4t，BN=5t，
∴$\frac{MB}{BN}$=$\frac{4}{5}$．
∴$\frac{MB}{BN}=cos∠EBN$．
∴MN⊥BE．
（2）当点M与点E重合时，BE=4t=5，解得：t=$\frac{5}{4}$．
当直线MN经过点D时，如图1所示：

∵E是AD的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}AD$=$\frac{1}{2}×8$=4．
∵∠MED=∠AEB，
∴ME=ED×$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{5}$．
∴MB=BE+ME=5+$\frac{16}{5}$=$\frac{41}{5}$．
∴4t=$\frac{41}{5}$．
解得：t=$\frac{41}{20}$．
故答案为：$\frac{5}{4}$；$\frac{41}{20}$．
（3）如图2所示：当0＜t$≤\frac{5}{4}$时．

在Rt△BNM中，MN=$\sqrt{N{B}^{2}-B{M}^{2}}$=3t．
∴S=S_△BMN=$\frac{1}{2}NM•BM$=$\frac{1}{2}×3t×4t$=6t²．
如图3所示：当$\frac{5}{4}＜t≤\frac{8}{5}$时．

∵EM=4t-5，
∴MF=$\frac{3}{4}（4t-5）$．
S=S_△BNM-S_△EFM=6t²-$\frac{3}{8}（4t-5）^{2}$=15t-$\frac{75}{8}$；
如图4所示：当$\frac{8}{5}＜t＜\frac{41}{20}$时．

∵CN=BN-BC=5t-8．
∴CG=$\frac{4}{3}$CN=$\frac{4}{3}×（5t-8）$=$\frac{20t}{3}-\frac{32}{3}$．
∴DG=DC-CG=$\frac{41}{3}-\frac{20t}{3}$．
∴DF=$\frac{3}{4}DG$．
∴S_△DFG=$\frac{1}{2}×DF•DG$=$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×（\frac{1}{3}）^{2}（41-20t）^{2}$=$\frac{50}{3}{t}^{2}-\frac{205}{3}t+\frac{1681}{24}$．
∵S=梯形EDCB的面积-△DFG的面积=$\frac{1}{2}×（4+8）×3$-（$\frac{50}{3}{t}^{2}-\frac{205}{3}t+\frac{1681}{24}$）
=-${\frac{50}{3}t}^{3}+\frac{205}{3}t$-$\frac{1249}{24}$．
综上所述，S与t的函数关系式为s=$\left\{\begin{array}{l}{6{t}^{2}（0＜t≤\frac{5}{4}）}\\{15t-\frac{75}{8}（\frac{5}{4}＜t≤\frac{8}{5}）}\\{-\frac{50}{3}{t}^{3}+\frac{205}{3}t-\frac{1249}{24}（\frac{8}{5}＜t＜\frac{41}{20}）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义、三角形的面积公式、梯形的面积公式，根据题意画出符合图形的图形，然后依据锐角三角函数的定义、三角形的面积公式、梯形的面积公式求得S与t的函数关系是解题的关键．