Question

10．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．
（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；
（2）求证：CD⊥DF．

Answer 1

分析 （1）根据已知和三角形内角和定理求出∠CBF的度数；
（2）设∠CFD=α，根据圆内接四边形的性质和三角形内角和定理求出∠CDF=90°，得到答案．

解答 解：（1）∵∠ADB=∠ACB，∠BAD=∠BFC，
∴∠ABD=∠FBC，
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠CBF=∠BCF，
∵∠BFC=2∠DFC=80°，
∴∠CBF=$\frac{180°-80°}{2}$=50°；
（2）令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180°-2α，
又∵AB=AD，
∴∠ACD=∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB=90°-α，
∴∠CFD+∠FCD=α+（90°-α）=90°，
∴∠CDF=90°，即CD⊥DF．

点评 本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理的应用，理解圆内接四边形的对角互补、一个外角等于它的内对角是解题的关键．