Question

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=2，求△CBE的周长．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可；
（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．

解答 （1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{CD=DE}\end{array}\right.$
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；

（2）解：∵DC=DE=2，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=4，
∴BC=6，
∴BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵AE=BE，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴△CBE的周长=BC+CE+BE=6+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．