题目内容
17．如图1，直线y=2x与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于点A（3，n），点B是线段OA上的一个动点．（1）则m=18，OA=3$\sqrt{5}$；
（2）将三角板的直角顶点放置在点B处，三角板的两条直角边分别交x轴、y轴于C、D两点，求$\frac{BC}{BD}$的值；
（3）如图2，B是线段OA的中点，E在反比例函数的图象上，试探究：在x轴上是否存在点F，使得∠EAB=∠EBF=∠AOF？如果存在，试求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
分析 （1）先把A（3，n）代入y=2x求出n，从而得到A（3，6），再利用两点间的距离公式计算出OA=3$\sqrt{5}$，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征易得m=18；
（2）过B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M、N，如图1，设B（a，2a），则BM=2a，BN=a，利用等角的余角相等得到∠MBC=∠DBN，于是可判断Rt△MBC∽Rt△DBN，然后利用相似比易得$\frac{BC}{BD}$=2；
（3）作AH⊥y轴于H，延长AE交x轴于G点，连结GB，如图2，由∠EAB=∠AOF得到△GAO为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得GB⊥OA，接着证明Rt△OBG∽Rt△AHO，利用相似比计算出OG=$\frac{15}{2}$，得到G（$\frac{15}{2}$，0），然后利用待定系数法求出直线AG的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+10，则通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{18}{x}}\\{y=-\frac{4}{3}x+10}\end{array}\right.$得E点坐标为（$\frac{9}{2}$，4），于是可利用两点间的距离公式计算出AE=$\frac{5}{2}$，最后证明△ABE∽△OFB，利用相似比计算出OF，从而得到F点的坐标．
解答 
解：（1）把A（3，n）代入y=2x得n=2×3=6，则A（3，6），
所以OA=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
而点A在反比例函数y=$\frac{m}{x}$图象上，
所以m=3×6=18；
故答案为18，3$\sqrt{5}$；
（2）过B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M、N，如图1，设B（a，2a），则BM=2a，BN=a，
∵∠MBC+∠MBD=90°，∠DBN+∠MBD=90°，
∴∠MBC=∠DBN，
∴Rt△MBC∽Rt△DBN，
∴$\frac{BC}{BD}$=$\frac{BM}{BN}$=$\frac{2a}{a}$=2；
（3）存在．
作AH⊥y轴于H，延长AE交x轴于G点，连结GB，如图2，
∵∠EAB=∠AOF，
∴△GAO为等腰三角形，
∵B是线段OA的中点，
∴GB⊥OA，
∵AH∥x轴，
∴∠OAH=∠GOB，
∴Rt△OBG∽Rt△AHO，
∴$\frac{OG}{OA}$=$\frac{OB}{AH}$，即$\frac{OG}{3\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{2}}{3}$，解得OG=$\frac{15}{2}$
∴G（$\frac{15}{2}$，0），
设直线AG的解析式为y=kx+b，
把A（3，6），G（$\frac{15}{2}$，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=6}\\{\frac{15}{2}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=10}\end{array}\right.$．
∴直线AG的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+10，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{18}{x}}\\{y=-\frac{4}{3}x+10}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{2}}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴E点坐标为（$\frac{9}{2}$，4），
∴AE=$\sqrt{（3-\frac{9}{2}）^{2}+（6-4）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∵∠EBO=∠EAB+∠2，即∠1+∠EBF=∠EAB+∠2，
而∠EAB=∠EBF，
∴∠1=∠2，
∵∠EAB=∠BOF，
∴△ABE∽△OFB，
∴$\frac{AB}{OF}$=$\frac{AE}{OB}$，即$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{2}}{OF}$=$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$，
∴OF=$\frac{9}{2}$，
∴F点的坐标为（$\frac{9}{2}$，0）．
点评 本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征；理解坐标与图形性质，能运用两点间的距离公式计算线段的长；会利用相似三角形的判定与性质计算线段的长度．
金钥匙试卷系列答案| A． | a2•a3=a6 | B． | 7a2-a2=7 | ||
| C． | -$（-\frac{1}{2}）^{-2}$•（xy2）3=-4x3y6 | D． | （2m-n）2=4m2+n2 |
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点E．
如图，三边均不等长的锐角△ABC，若在此三角形内找一点O，使得△OAB、△OBC、△OCA的面积均相等．下列作法中正确的是（ ）| A． | 作中线AD，再取AD的中点O | |
| B． | 分别作AB、BC的高线，再取此两高线的交点O | |
| C． | 分别作中线AD、BE，再取此两中线的交点O | |
| D． | 分别作∠A、∠B的角平分线，再取此两角平分线的交点O |
| 售价x（元/千克） | … | 50 | 60 | 70 | 80 | … |
| 销售量y（千克） | … | 100 | 90 | 80 | 70 | … |
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？
| A． | （3，2） | B． | （-3，-2） | C． | （2，-2） | D． | （-1，6） |