Question

2．已知，如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB，∠PCD之间的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以证明（温馨提示：添加适当辅助线）
（1）在图1中，∠APC与∠PAB，∠PCD之间的关系是：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．
（2）在图2中，∠APC与∠PAB，∠PCD之间的关系是：∠APC=∠PAB+∠PCD．
（3）在图3中，∠APC与∠PAB，∠PCD之间的关系是：∠PAB=∠APC+∠PCD．
（4）在图4中，∠APC与∠PAB，∠PCD之间的关系是：∠PCD=∠APC+∠PAB．
（5）在图2中，求证：∠APC=∠PAB+∠PCD．

Answer 1

分析 （1）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案；
（2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；
（3）由AB∥CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案；
（4）由AB∥CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案．

解答 解：（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；
（2）∠APC=∠PAB+∠PCD；
（3）∠PAB=∠APC+∠PCD；
（4）∠PCD=∠APC+∠PAB．  
（5）在图2中，求证：∠APC=∠PAB+∠PCD．
证明：过P点作PE∥AB，
∴∠1=∠PAB．
又∵AB∥CD，
PE∥CD，
∴∠2=∠PCD，
∴∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，
而∠APC=∠1+∠2，
∴∠APC=∠PAB+∠PCD．
故答案为：（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；
（2）∠APC=∠PAB+∠PCD；
（3）∠PAB=∠APC+∠PCD；
（4）∠PCD=∠APC+∠PAB．  
（5）在图2中，求证：∠APC=∠PAB+∠PCD．

点评 此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法．