若整数a能被整数b整除.则一定存在整数n.使得$\frac{a}{b}$=n.即a=bn.例如:若整数a能被整数7整除.则一定存在整数n.使得$\frac{a}{7}$=n.即a=7n．(1)将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数.让个位之前的数减去个位数的两倍.若所得之差能被7整除.则原多位自然数一定能被7整除．例如:将数字1078� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．若整数a能被整数b整除，则一定存在整数n，使得$\frac{a}{b}$=n，即a=bn，例如：若整数a能被整数7整除，则一定存在整数n，使得$\frac{a}{7}$=n，即a=7n．
（1）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被7整除，则原多位自然数一定能被7整除．例如：将数字1078分解为8和107，107-8×2=91，因为91能被7整除，所以1078能被7整除，请你证明任意一个三位数都满足上述规律．
（2）若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的k（k为正整数，1≤k≤15）倍，所得之和能被13整除，求当k为何值时使得原多位自然数一定能被13整除．

分析（1）根据题意设$\overline{ab}$-2c=10a+b能被7整除，再假设$\overline{ab}$-2c=7n（ n为自然数），则10n+b=7n，进而表示出$\overline{abc}$，即可得出答案；
（2）首先设m+kn=13a，10m+n=13b，则原多位数为10m+n，进而得出b与a，k的关系，进而得出答案．

解答解：（1）设任意一个三位数为$\overline{abc}$（均为自然数且），
依题意假设 $\overline{ab}$-2c=10a+b能被7整除，
不妨设$\overline{ab}$-2c=7n（ n为自然数），则10n+b=7n，
$\overline{abc}$=100a+10b+c=10（10a+b）+c=10（7n+2c）+c=7（10n+3c），
所以 $\overline{abc}$能被7整除；

（2）以下出现的字母均为自然数，设个位之前及个位数分别为m、n，
依题意不妨设m+kn=13a，
则原多位数为10m+n，
依题意不妨设10m+n=13b，
联立可得：b=10a-$\frac{n}{13}$（10k-1），
则10k-1为13倍数，分别将 k=1、2、3、4、5…15代入可知，只有k=4 时符合条件．

点评此题主要考查了数的整除性，根据题意用未知数表示出各数是解题关键．