Question

如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：AP与⊙O相切；
（2）如果PD=

3

，求AP的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，进而得出∠EAO=90°，即可得出答案；
（2）首先根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求得半径，从而求得OA、OP，进而利用勾股定理得出AP的长．

解答：（1）证明：连接AO，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AO=CO，AP=AC，
∴∠P=∠ACP，∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠P=∠ACP=∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠PAC=120°，
∴∠PAO=90°，
∴AP是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为R，则OA=OD=R，OP=

3

+R，
∵∠PAO=90°，∠P=30°，
∴OP=2OA，即

3

+R=2R，
解得R=

3

，
∴OA=

3

，OP=2

3

，
∴OA=

OP2-OA2

根据勾股定理得，AP=

OP2-OA2

=

(2 3 )2-( 3 )2

=3．

点评：此题主要考查了圆周角定理以及勾股定理定理和切线的判定、等腰三角形的性质等知识，根据已知得出圆的半径是解题关键．