Question

11．如图，在三角形ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD且EF∥BC交AC于点M，若EF=3，则CE²+CF²=36．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义、外角定理推知∠ECF=90°，然后在直角三角形ECF中利用勾股定理求CE²+CF²的值即可．

解答 解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACD，即∠ECF=$\frac{1}{2}$（∠ACB+∠ACD）=90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=3，EF=6，
由勾股定理可知CE²+CF²=EF²=36，
故答案为36．

点评 本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，以及角平分线的定义，证明出△ECF是直角三角形是解决本题的关键．