Question

1．如图，矩形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（3，0）、（0，5）．
（1）直接写出B点坐标（3，5）；
（2）若过点C的一条直线y=kx+b把矩形OABC的周长分为3：5两部分，求这条直线与这个矩形的另一个交点P的坐标；
（3）在（2）的条件下求这条直线y=kx+b的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质，点B的横坐标与A点的横坐标相同，纵坐标与C点的纵坐标相同，然后写出B点坐标；
（2）分类讨论：，①P₂在OA上时，设OP₂=t，（5+t）：（3+5+3-t）=3：5；②当P₁在AB上时，设AP₁=t，（3+5-t）：（5+3+t）=3：5，分别解方程即可．
（3）利用待定系数法求出直线CP的解析式．

解答 解：（1）∵四边形OABC为矩形，
∴AB⊥x轴，BC⊥y轴，
而A、C两点的坐标分别为（3，0）、（0，5），
∴B点坐标为（3，5）；
故点B坐标为（3，5）．

（2）如图，①P₂在OA上时，设OP₂=t，（5+t）：（3+5+3-t）=3：5，解得t=1，
所以P₂点坐标为（1，0），
②当CP₁在AB上时，设AP₁=t，（3+5-t）：（5+3+t）=3：5，解得t=2，
所以P₁点坐标为（3，2），

（3）设直线CP₁的解析式为y=kx+b，则 $\left\{\begin{array}{l}{3k+b=2}\\{b=5}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
所以直线CP₁的解析式为y=-x+5，
设直线CP₂的解析式为y=kx+b，则 $\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=5}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-5}\\{b=5}\end{array}\right.$，
所以直线CP₂的解析式为y=-5x+5；
综上所述，这条直线的解析式为y=-5x+5或y=-x+5．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-$\frac{b}{k}$，0）；与y轴的交点坐标是（0，b），学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．