Question

13．.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D，E为边AC上的两动点，以相同的速度D从A向C，E从C向A运动，AM⊥BD交BC于N，连NE并延长交BD延长线于F．

①说明∠ABD=∠NAC
②当D，E运动到如图2所示的位置时，试作出图形，并判断FD与FE的数量关系，请写出你的结论．（不要求证明）
③对图1证明△FED为等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等可以得：∠ABD=∠NAC；
（2）如图2作辅助线，构建全等三角形，利用ASA证明△ECN≌△PCN，得∠APC=∠NEC，再利用SAS证明△ECN≌△PCN，所以∠APC=∠NEC，则∠ADB=∠NEC，利用等角对等边得：FD=FE；
（3）如图1，同理可证明FD=FE，则△FED为等腰三角形．

解答 解：（1）如图1，∵∠BAC=90°，
∴∠NAC+∠BAN=90°，
∵AM⊥BD，
∴∠AMB=90°，
∴∠ABD+∠BAN=90°，
∴∠ABD=∠NAC；
（2）FD=FE，理由是：
如图2，过C作CP⊥AC，交AN的延长线于P，
∴∠ACP=∠BAC=90°，
∵AB=AC，∠NAC=∠ABD，
∴△APC≌△BDA，
∴AD=PC，∠ADB=∠APC，
由题意得：AD=EC，
∴AD=EC=PC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠PCN=45°，
∴∠ACB=∠PCN，
∵NC=NC，
∴△ECN≌△PCN，
∴∠APC=∠NEC，
∴∠ADB=∠NEC，
∴FD=FE；
（3）如图1，过C作CP⊥AC，交AN的延长线于P，
∴∠ACP=∠BAC=90°，
∵AB=AC，∠NAC=∠ABD，
∴△APC≌△BDA，
∴AD=PC，∠ADB=∠APC，
由题意得：AD=EC，
∴AD=EC=PC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠PCN=45°，
∴∠ACB=∠PCN，
∵NC=NC，
∴△ECN≌△PCN，
∴∠APC=∠NEC，
∴∠ADB=∠NEC，
∵∠ADB=∠FDE，∠NEC=∠FED，
∴∠FDE=∠FED，
∴FD=FE；
∴△FED为等腰三角形．

点评 本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形、等腰三角形、全等三角形的性质和判定，本题主要利用证明两个三角形全等来证明边相等或角相等，从而解决问题．