Question

2．如图，AB=4，O为AB的中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以PB为直角边的等腰直角三角形PBC（点P、B、C按逆时针方向排列），则线段AC的长的取值范围为$\sqrt{2}$≤AC≤3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图，作OK⊥AB，在OK上截取OK=OA=OB，连接AK、BK、KC、OP．首先证明△OBP∽△KBC，得$\frac{KC}{OP}$=$\frac{BC}{PB}$=$\sqrt{2}$，由OP=1，推出KC=$\sqrt{2}$，所以点C的运动轨迹是以点K为圆心，KC为半径的圆，由此即可解决问题．

解答 解：如图，作OK⊥AB，在OK上截取OK=OA=OB，连接AK、BK、KC、OP．

∵OK=OA=OB，OK⊥AB，
∴KA=KB，∠AKB=90°，
∴△AKB是等腰直角三角形，
∵∠OBK=∠PBC，
∴∠OBP=∠KBC，
∵$\frac{OB}{BK}$=$\frac{PB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△OBP∽△KBC，
∴$\frac{KC}{OP}$=$\frac{BC}{PB}$=$\sqrt{2}$，∵OP=1，
∴KC=$\sqrt{2}$，
∴点C的运动轨迹是以点K为圆心，KC为半径的圆，
AK=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$，
∴AC的最大值为3$\sqrt{2}$，AC的最小值$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$≤AC≤3$\sqrt{2}$．
故答案为$\sqrt{2}$≤AC≤$3\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，解题的突破点是发现点C的运动轨迹是以点K为圆心，KC为半径的圆，所以中考填空题中的压轴题．