Question

4．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，设点E的对应点为F．
（1）画出旋转后的三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求出点E运动到点F所经过的路径的长．

Answer 1

分析 （1）延长DA到G点，使AG=AB，然后分别以A、G为圆心，AE、BE为半径画弧，两弧相交于点F，则△AGF即为所作；
（2）点E运动到点F所经过的路径是以A点为圆心，AB为半径．圆心角为90°的弧，然后根据弧长公式求解．

解答 解：（1）如图，△AGF为所作；

（2）∵E是BC的中点，
∴BE=1，
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵△ABE绕点A顺时针旋转90°得到△AGF，
∴∠EAF=90°，
∴点E运动到点F所经过的路径的长=$\frac{90•π•\sqrt{5}}{180}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$π．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式．