Question

11．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c，与x轴交于点A、B，且点A的坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及D点的坐标；
（2）P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为N，PN交线段BC于M，连接PC、PB，设P点的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，连接OM，当t为何值时，△OMN与△CDB相似．

Answer 1

分析 （1）代入点A（-1，0），点C（0，3）求得函数解析式即可；进一步利用顶点坐标公式求得答案即可；
（2）设P点的横坐标为t，纵坐标为-t²+2t+3，利用三角形PBN的面积加上梯形CONP的面积减去三角形OBC的面积表示出三角形PBC的面积即可；
（3）利用勾股定理分别求得DC、DB、BC的长，利用勾股定理逆定理判定三角形BCD是直角三角形，求得BC解析式，设出M点的坐标，再利用三角形相似的性质分两种直角边对应求得答案即可．

解答 解：（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x²+bx+c，
解得b=2，c=3，
抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；
-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，$\frac{4×（-1）×3-{2}^{2}}{-4}$=4，
顶点D为（1，4）；
（2）如图，

由题意可知点P（t，-t²+2t+3）
S=$\frac{1}{2}$（3-t）（-t²+2t+3）+$\frac{1}{2}$t（3-t²+2t+3）-$\frac{1}{2}$×3×3
=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t；
（3）如图，

由题意可知：BC=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$，
∵BC²+CD²=BD²，
∴△BCD是直角三角形，∠BCD=90°，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC=-x+3，
设M点的坐标为（t，-t+3），
∵△OMN∽△CDB，
∴$\frac{ON}{CD}$=$\frac{MN}{BC}$或$\frac{MN}{CD}$=$\frac{ON}{BC}$，
即$\frac{t}{\sqrt{2}}$=$\frac{-t+3}{3\sqrt{2}}$或$\frac{-t+3}{\sqrt{2}}$=$\frac{t}{3\sqrt{2}}$
解得$t=\frac{3}{4}$或$t=\frac{9}{4}$．

点评 此题考查二次函数综合题，综合考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，勾股定理逆定理的运用，相似的性质，以及渗透分类讨论思想．