Question

【题目】如图，直线与轴、轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线。点G是抛物线位于直线下方的任意一点，连接PB、GB、GC、AC .

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求△GBC面积的最大值；

（3）连接AC，在轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）; （2）当时，面积的取最大值; （3）在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（，0），能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

【解析】

（1）根据二次函数的对称性，已知对称轴的解析式以及B点的坐标，即可求出A的坐标，利用抛物线过A、B、C三点，可用待定系数法来求函数的解析式；

（2）过作∥轴交于点.设点,则点，列出关于△GBC面积的解析式，利用二次函数的性质求解即可；

（3）本题要先根据抛物线的解析式求出顶点P的坐标，然后求出BP的长，进而分三情况进行讨论：①当，∠PBQ=∠ABC=45°时；②当，∠QBP=∠ABC=45°时；③当Q在B点右侧，即可得出∠PBQ≠∠BAC，因此此种情况是不成立的，综上所述即可得出符合条件的Q的坐标．

（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴相交于点B、点C，

∴当y＝0时，x＝3；当x＝0时，y＝3.

∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），

又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x＝2，

∴点A的坐标为（1，0）．

又∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），C（0，3），

， 解得：，

∴该抛物线的解析式为：；

（2）如图，过作∥轴交于点.

设点,则点，

∴，

∴，

∵，

∴ 当时，面积的取最大值.

（3）如图，

由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得顶点P（2，﹣1），

设抛物线的对称轴交x轴于点M，

∵在Rt△PBM中，PM＝MB＝1，

∴∠PBM＝45°，PB＝．

由点B（3，0），C（0，3）易得OB＝OC＝3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC＝45°，

由勾股定理，得BC＝．

假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

①当，∠PBQ＝∠ABC＝45°时，△PBQ∽△ABC．

即，

解得：BQ＝3，

又∵BO＝3，

∴点Q与点O重合，

∴Q1的坐标是（0，0）．

②当，∠QBP＝∠ABC＝45°时，△QBP∽△ABC．

即，

解得：QB＝．

∵OB＝3，

∴OQ＝OB﹣QB＝3﹣，

∴Q2的坐标是（，0）．

③当Q在B点右侧，

则∠PBQ＝＝135°，∠BAC＜135°，

故∠PBQ≠∠BAC．

则点Q不可能在B点右侧的x轴上，

综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（，0），能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．