Question

1．如图，在反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上，有点P₁，P₂，P₃，…，P₂₀₁₀，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2015．分别过这些点作
x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S₁，
S₂，S₃，…，S₂₀₁₀，则S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₅=$\frac{4030}{2016}$．

Answer 1

分析 求出P₁、P₂、P₃、P₄…的纵坐标，从而可计算出S₁、S₂、S₃、S₄…的高，进而求出S₁、S₂、S₃、S₄…，从而得出S₁+S₂+S₃+…+S_n的值．

解答 解：当x=1时，P₁的纵坐标为2，
当x=2时，P₂的纵坐标1，
当x=3时，P₃的纵坐标$\frac{2}{3}$，
当x=4时，P₄的纵坐标$\frac{1}{2}$，
当x=5时，P₅的纵坐标$\frac{2}{5}$，
…
则S₁=1×（2-1）=2-1；
S₂=1×（1-$\frac{2}{3}$）=1-$\frac{2}{3}$；
S₃=1×（$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{4}$；
S₄=1×（$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{5}$）=$\frac{2}{4}$-$\frac{2}{5}$；
…
Sn=$\frac{2}{n}$-$\frac{2}{n+1}$；
S₁+S₂+S₃+…+S_n=2-1+1-$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{4}$+$\frac{2}{4}$-$\frac{2}{5}$+…+$\frac{2}{n}$-$\frac{2}{n}$=2-$\frac{2}{n+1}$=$\frac{2n}{n+1}$，
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₅=$\frac{4030}{2016}$，
故答案为：$\frac{4030}{2016}$．

点评 此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求出个阴影的面积表达式是解题的关键．