Question

已知：AB、CD交于E点，连接AD、BC，
（1）若AD+BC=3

2

+1，2BC-AD=2-3

2

，则AD=

 

，BC=

 

．
（2）若∠B与∠D互为余角，∠A与∠C互为补角，则∠AEC的度数为

 

．
（3）在（1）（2）的条件下，若CD=4

2

，求AB的长．

Answer 1

考点：正弦定理与余弦定理,解二元一次方程组,解一元二次方程-因式分解法,三角形内角和定理,多边形内角与外角,平行四边形的性质

专题：计算题

分析：（1）根据条件建立方程组，即可解决问题．
（2）结合条件，利用三角形的内角和就可求出∠AED的度数，进而求出∠AEC的度数．
（3）以CD、CB为邻边作平行四边形BCDF，则有∠ABF=∠AED=45°，BF=DC=4

2

，在△ADF中运用余弦定理可求出AF²，再在△ABF中运用余弦定理就可求出AB．

解答：解：（1）联立

AD+BC=3 2 +1 2BC-AD=2-3 2

，
解得：

AD=3 2 BC=1

．
故答案为：3

2

，1．

（2）如图1，
∵∠B与∠D互为余角，∠A与∠C互为补角，
∴∠D+∠B=90°，∠A+∠C=180°．
∵∠A+∠D+∠AED=180°，
∠B+∠C+∠BEC=180°，
∴∠A+∠D+∠AED+∠B+∠C+∠BEC=360°．
∴∠AED+∠BEC+90°+180°=360°．
∴∠AED+∠BEC=90°．
∵∠AED=∠BEC，
∴∠AED=∠BEC=45°．
∴∠AEC=135°
故答案为：135°．

（3）以CD、CB为邻边作平行四边形BCDF，连接AF，如图2所示，
∵四边形BCDF是平行四边形，
∴BF=DC=4

2

，DF=BC=1，∠DFB=∠C=180°-∠DAB，DC∥BF．
∴∠ABF=∠AED=45°．
在四边形ABFD中，
∵∠DAB+∠ABF+∠BFD+∠ADF=360°，∠DFB=180°-∠DAB，∠ABF=45°，
∴∠ADF=135°．
在△ADF中，
∵AD=3

2

，DF=1，∠ADF=135°，
∴AF²=AD²+DF²-2AD•DF•cos∠ADF
=18+1-2×3

2

×1×（-

2

2

）
=25．
在△ABF中，
∵AF²=25，BF=4

2

，∠ABF=45°，
∴AF²=AB²+BF²-2AB•BF•cos∠ABF
=AB²+（4

2

）²-2×AB×4

2

×

2

2

=25．
解得：AB=1（舍去）或AB=7．
∴AB的长为7．

点评：本题考查了余弦定理、解二元一次方程组、解一元二次方程、平行四边形的性质、三角形及四边形的内角和等知识，还考查了构造法，有一定的难度，而以CD、CB为邻边构造平行四边形是解决本题的关键．