Question

12．如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD的延长线的垂线PQ，垂足为C．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2，若过点O作OE⊥AD，垂足为E，OE=$\sqrt{3}$，求弦AD的长．

Answer 1

分析 （1）由同圆的半径相等和角平分线证出∠OTA=∠CAT，得出OT∥AC，由PQ⊥AC，证出PQ⊥OT，即可得出结论；
（2）由垂径定理得出AE=DE，由勾股定理求出AE，即可得出AD的长．

解答 （1）证明：连接OT，如图1所示：
∵OA=OT，
∴∠OAT=∠OTA，
∵AT平分∠BAD，
∴∠OAT=∠CAT，
∴∠OTA=∠CAT，
∴OT∥AC，
∵PQ⊥AC，
∴PQ⊥OT，
∴PQ是⊙O的切线；
（2）解：如图2所示：
∵OE⊥AD，
∴AE=DE，∠AEO=90°，
∴AE=$\sqrt{O{A}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
∴AD=2AE=2．

点评 本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理、平行线的判定；熟练掌握圆的有关性质，证明平行线和运用垂径定理是解决问题的关键．