Question

20．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠ACD=3∠BCD，E是AB的中点，
（1）求∠A的对数；
（2）探究AB与DE之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）先求出∠ACD和∠BCD的度数，再根据直角三角形两锐角互余求解即可；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=AE=BE，根据等边对等角可得∠ACE=∠A，再求出∠BCE，然后求出∠DCE=45°，从而判断出△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质解答．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠ACD=3∠BCD，
∴∠ACD=90°×$\frac{1}{1+3}$=22.5°，
∠BCD=90°×$\frac{3}{1+3}$=67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠A=90°-∠ACD=90°-67.5°=22.5°；

（2）∵E是AB的中点，∠ACB=90°，
∴CE=AE=BE=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ACE=∠A=22.5°，
∴∠BCE=90°-22.5°=67.5°，
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=67.5°-22.5°=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$DE，
∴$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$DE，
∴AB=2$\sqrt{2}$DE．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．