Question

17．我们知道：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
（1）请你分”圆周角的一边过圆心“、”圆心在圆周角的内部“、”圆心在圆周角的外部“3种情况，分别结合图①、②、③证明上述结论；

（2）证明上述结论，运用的数学思想方法有：分类讨论．
（3）我们把“顶点在圆外的角”称之为“圆外角”，把“顶点在圆内的角”称之为“圆内角”，“圆外角”或“圆内角”是否依然等于“它所对弧上的圆心角度数的一半”？请你分别结合图④、⑤对你的结论加以说明．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的两底角相等以及三角形的外角的性质即可证得；
（2）分成三种不同情况，则利用了分类讨论思想；
（3）作出∠AOC对应的圆周角，利用（1）的结论好三角形的外角的性质即可解答．

解答 解：（1）在图①中，∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
又∵∠AOC=∠A+∠B，
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC；
在图②中，作直径BD，同①可得∠ABD=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠CBD=$\frac{1}{2}$∠COD，
则∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC；
在图③中，作直径BD．
同理∠CBD=$\frac{1}{2}$∠COD，∠ABD=$\frac{1}{2}$∠AOD，
∴∠ABC=∠CBD-∠ABD=$\frac{1}{2}$∠COD-$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$（∠COD-∠AOD）=$\frac{1}{2}$∠AOC；
（2）运用了分类讨论思想．
故答案是：分类讨论；
（3）圆外角”或“圆内角”不等于“它所对弧上的圆心角度数的一半”．
如图④．
连接CD．
根据（1）可得∠ADC=$\frac{1}{2}$∠AOC，
又∵∠ADC＞∠B，
∴∠B＜$\frac{1}{2}$∠AOC；
在图⑤中，延长AB交圆于点D，连接CD．
∵∠D=$\frac{1}{2}$∠AOC，
又∵∠D＜∠ABC，
∴∠ABC＞$\frac{1}{2}$∠AOC．

点评 本题考查了圆周角定理的证明，以及等腰三角形的性质，正确进行分类讨论是关键．