Question

在△ABC，D为BC中点，AD=AC，DE⊥BC，与AB交于E，EC与AD交于F，求证：AF=FD．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：证明题

分析：作AG⊥CD，交CD于G，交CE于H，连接DH，根据等腰三角形的性质求得AG垂直平分CD，进而求得CH=DH，∠BCE=∠CDH．根据垂直平分线的性质求得CE=BE，
根据等边对等角得出∠BCE=∠B，从而证得∠B=∠CDH．得出AB∥DH．进一步求得AG∥DE，根据平行四边形的概念得出四边形AHDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AF=DF．

解答：证明：如图，作AG⊥CD，交CD于G，交CE于H，连接DH，
∵AC=AD，
∴△ACD是等腰三角形．
又∵AG⊥CD，
∴AG垂直平分CD，
∴CH=DH，
∴∠BCE=∠CDH．
∵D为BC的中点，DE垂直平分BC，
∴CE=BE，
∴∠BCE=∠B，
∴∠B=∠CDH．
∴AB∥DH．
∵AG⊥BC，DE⊥BC，
∴AG∥DE，
∵AB∥DH，AG∥DE，
∴四边形AHDE是平行四边形，
∴AF=DF．

点评：本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握性质定理是关键．