Question

8．如图，△ABC中，∠BAC=90°，BD是∠ABC的平分线，BD⊥CF交CF于点E，直线CE交BA的延长线于点F且AD=AF．
（1）求证：△BAD≌△CAF；
（2）连接DF，若BF=15cm，求△ADF的周长．

Answer 1

分析 （1）先求出∠ADB=∠AFC，根据ASA即可证明△BAD≌△CAF；
（2）由△BAD≌△CAF得出AB=AC，得出∠ABC=∠ACB=45°，再证出∠AFC=∠BCE，得出AF=BC，证出BE垂直平分CF，得出DF=DC，即可得出△ADF的周长=AF+AD+DF=BF．

解答 （1）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠CAF=90°，∠ABD+∠ADB=90°，
∵BE⊥CF，
∴∠BEF=90°，
∴∠ABD+∠AFC=90°，
∴∠ADB=∠AFC，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CAF=90°}&{\;}\\{AD=AF}&{\;}\\{∠ADB=∠AFC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（ASA）；
（2）解：∵△BAD≌△CAF，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABCD=22.5°，
∴∠AFC=∠BCE=90°-22.5°=67.5°，
∴AF=BC，
∴BE垂直平分CF，
∴DF=DC，
∴△ADF的周长=AF+AD+DF=AF+AD+DC=AF+AC=AF+AB=BF=15cm．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．