题目内容
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax 2＋bx＋4经过A（－3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，D（
，0）．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分， 求此时t的值；
（3）在第一象限的抛物线上取一点G，使得S△GCB=S△GCA，再在抛物线上找点E(不与点A、B、C重合)，使得∠GBE=45°，求E点的坐标．
（1）解：（1）将A（-3，0）、B（4，0）代
入y=ax2+bx＋4得：
，
解得
， ∴抛物线解析式是：
（2）由B（4，0）和D（，0）可得BD=
=BC………（3分）
∴∠BDC=∠BCD
∵ DC垂直平分PQ， ∴DP=DQ，∴∠PDC=∠QDC
∴∠QDC =∠DCB
∴DQ∥BC
∴
∴
∴DQ=
=DP…
=
（3）∵S△GCB=S△GCA， ∴只有CG∥AB与抛物线交于点G时，G点才符合题意，
∵C（0，4），把y=4代入抛物线解析式，解得：x1=1，x2=0
∴G（1，4），
过点G作GM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AB于点N
∵∠GCB=∠CBO=45°，∵CG=1，∴GM=
，
GB=5，勾股得MB=
，∴
=
=
∵∠GBE=∠OBC=45°
∴∠GBC=∠ABE ∴△BGM∽△BEN…
∴
设E（
）
∴
=
， 解得
∴E（
，
）
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