Question

如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，CD切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF．
（1）求证：OD∥BE；
（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由；
（3）连接AE、OC分别交OD、BE于G、H，连接GH，若OD=6，OC=8，求GH的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：计算题

分析：（1）根据切线长定理由AM、DC是⊙O的切线得DA=DE，OD平分∠ADE，则利用等腰三角形的性质得OD⊥AE，再根据切线的性质由AB为⊙O的直径得到∠AEB=90°，然后根据平行线的性质即可得到OD∥BE；
（2）根据切线的性质得OA⊥AM，OB⊥BN，则AM∥BN，即四边形ABCD为直角梯形，易得OF为梯形ABCD的中位线，根据梯形的中位线性质有OF=

1

2

（AD+BC），再根据切线长定理得到CB=CE，DA=DE，所以AD+BC=DE+CE=CD，即可得到=

1

2

CD；
（3）连接OE，如图，在（1）中以证明OD垂直平分AE，即点G为AE的中点，同理得到点H为BE的中点，于是得到GH为△AEB的中位线，所以GH=

1

2

AB，再判断△DOC为直角三角形，∠COD=90°，根据勾股定理计算出CD=10，利用面积计算出OE=

24

5

，则GH=

1

2

AB=OE=

24

5

．

解答：（1）证明：∵AM、DC是⊙O的切线，
∴DA=DE，OD平分∠ADE，
∴OD⊥AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴BE⊥AE，
∴OD∥BE；
（2）解：OF=

1

2

CD．理由如下：
∵AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，
∴OA⊥AM，OB⊥BN，
∴AM∥BN，
∴四边形ABCD为直角梯形，
∵OA=OB，
∴OF为梯形ABCD的中位线，
∴OF=

1

2

（AD+BC），
∵BN、CD是⊙O的切线，
∴CB=CE，
∴AD+BC=DE+CE=CD，
∴OF=

1

2

CD；
（3）解：连接OE，如图，OD垂直平分AE，
∴点G为AE的中点，
同理得到点H为BE的中点，
∴GH为△AEB的中位线，
∴GH=

1

2

AB，
∵OF=

1

2

CD，CF=DF，即OF=DF=CF，
∴△DOC为直角三角形，∠COD=90°，
在Rt△COD中，∵OD=6，OC=8，
∴CD=

OD2+OC2

=10，
∵CD切⊙O于E，
∴OE⊥CD，
∴

1

2

OE•CD=

1

2

OC•OD，
∴OE=

6×8

10

=

24

5

，
∴AB=2OE=

48

5

，
∴GH=

1

2

AB=

24

5

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质和三角形与梯形的中位线定理；会运用勾股定理和三角形面积公式进行几何计算．