Question

2．如图，Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠ACB=30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 由直角三角斜边上的中线性质得出PA=PC=$\frac{1}{2}$CD，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠APD=2∠ACD，同理得出∠DPE=2∠DCB，PA=PE，再证出∠APE=2∠ACB=60°，即可得出结论．

解答 解：△PAE的形状为等边三角形；理由如下：
∵在Rt△CAD中，∠CAD=90°，P是斜边CD的中点，
∴PA=PC=$\frac{1}{2}$CD，
∴∠ACD=∠PAC，
∴∠APD=∠ACD+∠PAC=2∠ACD，
同理：在Rt△CED中，PE=PC=$\frac{1}{2}$CD，∠DPE=2∠DCB，
∴PA=PE，即△PAE是等腰三角形，
∴∠APE=2∠ACB=2×30°=60°，
∴△PAE是等边三角形．

点评 本题考查了等边三角形的判定、直角三角斜边上的中线性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等边三角形的判定方法，由直角三角斜边上的中线性质得出PA=PC，PE=PC是解决问题的关键．