Question

1．如图，△ABC中，AB=AC，AO是角平分线，D为AO上一点，作△CDE，使DE=DC，∠EDC=∠BAC，连接
BE．

（1）若∠BAC=60°，求证：△ACD≌△BCE；
（2）若∠BAC=90°，AD=DO，求$\frac{BE}{BC}$的值；
（3）若∠BAC=90°，F为BE中点，G为 BE延长线上一点，CF=CG，AD=nDO，直接写出$\frac{BF}{FG}$的值．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠ACD=∠BCE，即可根据SAS证得△ACD≌△BCE；
（2）首先证明△ACD∽△BCE，得$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{2}$，再根据AD=$\frac{1}{4}$BC即可解决问题．
（3）如图3中，作CH⊥BG于H．设OD=k，则AD=nk，BE=$\sqrt{2}$nk，AO=（n+1）k，首先证明△ABC≌△HBC，得BH=CH=AB=AC=$\sqrt{2}$（n+1）k，BF=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$nk，求出BG即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE．∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠DCO=∠DCE-∠DCO，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）如图2中，

∵AB=AC，OA平分∠BAC，
∴AO⊥BC，OB=OC，
∵∠BAC=∠EDC=90°，AB=AC，DE=DC，
∴∠ACB=∠DCE=45°，BC=$\sqrt{2}$AC，EC=$\sqrt{2}$CD，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{EC}{CD}$，∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{2}$，
∵OA=OB=OC，AD=OD，
∴AD=$\frac{1}{4}$BC，
∴$\frac{BE}{\frac{1}{4}BC}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

（3）如图3中，作CH⊥BG于H．

由（2）可知△ACD∽△BCE，
∴BE：AD=$\sqrt{2}$，∠CAD=∠CBE=45°，设OD=k，则AD=nk，BE=$\sqrt{2}$nk，AO=（n+1）k，
∵∠ABC=∠HBC=45°，∠BAC=∠BHC，BC=BC，
∴△ABC≌△HBC，
∴BH=CH=AB=AC=$\sqrt{2}$（n+1）k，BF=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$nk，
FH=HG=$\sqrt{2}$（n+1）k-$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$nk，
∴$\frac{BF}{FG}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}nk}{2[\sqrt{2}（n+1）k-\frac{\sqrt{2}}{2}nk]}$=$\frac{n}{2n+4}$．

点评 本题考查相似三角形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．