Question

10．如图，抛物线y=-x²+3x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P在抛物线上，∠ACB=∠BCP，求P点的坐标．

Answer 1

分析 求出点A关于直线BC 的对称点F′坐标，求出直线CF′的解析式，利用方程组即可求出点P坐标．

解答 解：令y=0，则-x²+3x-2=0，解得x=1或2，
∴点A坐标（1，0），点B坐标（2，0），
令x=0，则y=-2，
∴点C坐标（0，-2）
设直线BC解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x-2．
设过点A与直线BC垂直的直线AE的解析式为y=-x+m，（E为垂足），
把A（1，0）代入得到m=1，
∴直线AE的解析式为y=-x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
则点A关于直线BC的对称点F′（2，-1），
设直线CF′的解析式为y=mx+n，则有$\left\{\begin{array}{l}{n=-2}\\{2m+n=-1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴直线CF′的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，设直线CF′与抛物线交于点P，
根据对称性可知∠PCB=∠ACB，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-2}\\{y=-{x}^{2}+3x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴点P坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是取特殊点解决问题，学会利用方程组求两个函数交点坐标，属于中考常考题型．