Question

11．已知关于x、y的二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y=6}\\{3x+ky=10}\end{array}\right.$给出下列结论：
①当k=5时，此方程组无解；
②若此方程组的解也是方程6x+15y=16的解，则k=10；
③无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（x、y均为整数），
其中正确的是①②③（填序号）．

Answer 1

分析 ①将k=5代入，得到方程组得$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y=6}\\{3x+5y=10}\end{array}\right.$，求解即可作出判断；
②解方程组$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y=6}\\{3x+10y=10}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，把$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$代入6x+15y=16，即可做出判断；
③解方程组$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y=6}\\{3x+ky=10}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{20}{3k-15}}\\{y=\frac{4}{k-5}}\end{array}\right.$，根据k为整数即可作出判断．

解答 解：∵当k=5时，方程组为$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y=6}\\{3x+5y=10}\end{array}\right.$，此时方程组无解；∴①正确；
∵解方程组$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y=6}\\{3x+10y=10}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，把$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$代入6x+15y=16，方程左右两边相等，∴②正确；
∵解方程组$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y=6}\\{3x+ky=10}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{20}{3k-15}}\\{y=\frac{4}{k-5}}\end{array}\right.$，
又∵k为整数，
∴x、y不能均为整数，∴③正确．
故答案为：①②③．

点评 此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．