Question

7．已知D是△ABC内一点，E是边AC的中点，AB=6，BC=10，∠BAD=∠BCD，∠EDC=∠ABD．求DE的长．

Answer 1

分析 延长CD到F、使CD=DF知DE∥AF、DE=$\frac{1}{2}$AF，通过∠ABD=∠DFA=∠EDC知点A、F、B、D四点共圆，从而得到∠BFD=∠BCD=∠BAD，证△BFD≌△BCD知∠BAF=∠BDF=90°，在RT△BAF中根据勾股定理可得AF的长即可．

解答 解：如图，延长CD到F，使CD=DF，连接AF、BF，

∵E是AC中点，CD=DF，
∴DE∥AF，且DE=$\frac{1}{2}$AF，
∴∠CDE=∠DFA，
∵∠EDC=∠ABD，
∴∠ABD=∠DFA=∠EDC，
∴点A、F、B、D四点共圆，
∴∠BAD=∠BFD，
又∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BFD=∠BCD，
∴BF=BC，
在△BFD和△BCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BF=BC}\\{BD=BD}\\{DC=DF}\end{array}\right.$，
∴△BFD≌△BCD（SSS），
∴∠BDF=∠BDC=$\frac{1}{2}$∠CDF=90°，
∵点A、F、B、D四点共圆，
∴∠BAF=∠BDF=90°，
在RT△BAF中，∵BF=BC=10，AB=6，
∴AF=8，
∴DE=$\frac{1}{2}$AF=4．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造△BFD≌△BCD是解题的关键．