Question

2．在△ABC中 AB=AC，过点C作∠MCB=∠BAC，MC所在直线交AB所在直线于点D，过点D作CE⊥AC，垂足为点E．
（1）如图①，求证：AD-AB=2CE；
（2）如图②，图③，线段AD，AB，CE又有怎样数量关系？请写出你的猜想，不需证明；
（3）填空：若AC=3，CE=2，则AD=7或1．

Answer 1

分析 （1）作DH∥BC交AE的延长线于H，先证明BD=HC，再证明HC=2CE即可解决．
（2）①结论AD+AB=2EC，作DH∥BC交CA的延长线于H，先证明BD=HC，再证明HC=2CE即可解决．
②结论AD+AB=2EC，作DH∥BC交CA的延长线于H，先证明BD=HC，再证明HC=2CE即可解决．
（3）利用图1、图2的结论计算即可，图3不合题意．

解答 （1）证明：如图1中，作DH∥BC交AE的延长线于H．
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵BC∥DH，
∴∠ACB=∠H，∠ABC=∠ADN，
∴∠H=∠ADH，
∴AD=AH，
∴BD=CH，
∵∠BCD=∠A，∠HCB=∠A+∠ABC，
∴∠HCB=∠ABC=∠H，
∴DC=DH，
∵DE⊥CH，
∴CE=EH，
∴HC=2EC，
∴AD-AB=BD=CH=2EC．
（2）①如图2中结论：AB+AD=2EC，理由如下：
证明：作DH∥BC交CA的延长线于H．
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵BC∥DH，
∴∠ACB=∠H，∠ABC=∠ADN，
∴∠H=∠ADH，
∴AD=AH，
∴BD=CH，
∵∠BCM+∠BCA+∠HCD=180°，∠BAC+∠B+∠BCA=180°，
∵∠BCM=∠BAC，
∴∠HCD=∠B=∠H，
∴DC=DH，
∵DE⊥CH，
∴CE=EH，
∴HC=2EC，
∴AD-AB=BD=CH=2EC．
②如图3中，结论：AB+AD=2FC，理由如下：
作DH∥BC交CA的延长线于H．
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵BC∥DH，
∴∠ACB=∠H，∠ABC=∠ADN，
∴∠H=∠ADH，
∴AD=AH，
∴BD=CH，
∵∠BCM+∠BCA+∠HCD=180°，∠BAC+∠B+∠BCA=180°，
∵∠BCM=∠BAC，
∴∠HCD=∠B=∠H
∴DC=DH，
∵DE⊥CH，
∴CE=EH，
∴HC=2EC，
∴AD-AB=BD=CH=2EC．
（3）解：在图1中，∵AD-AB=2EC，AB=AC=3，EC=2，
∴AD-3=4
∴AD=7，
在图2中，∵AD+AB=2EC，AB=AC=3，CE=2，
∴AD+3=4，
∴AD=1，
在图3中，∵AC＜CE不合题意．
故答案为7或1．

点评 本题考查等腰三角形性质、平行线的性质，通过作平行线构造等腰三角形是解决问题的关键．