Question

13．如图，分别以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰Rt△ABD、Rt△ACE．连结BE、CD，且交于点Q，求证：OA平分∠DOE．

Answer 1

分析 由△ABD和△ACE都是等腰直角三角形得出AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=90°，再进一步得出∠DAC=∠BAE证得△ABE≌△ADC，过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．根据三角形的面积公式求出AN=AM，根据角平分线性质求出即可．

解答 解：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AE=AC，
又∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即：∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AE=AC}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADC（ SAS）
∴BE=DC，
如图，过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．

∵△ABE≌△ADC，
∴S_△ABE=S_△ADC，
∴$\frac{1}{2}BE•AM=\frac{1}{2}CD•AN$，
∴AM=AN
∴点A在∠DOE的平分线上，
即OA平分∠DOE．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．