Question

18．如图，AB是半圆O的直径，过半圆O上一点D作DE⊥AB，垂足为E，作半圆O的切线DC，交AB的延长线于点C，连结OD、BD．
（1）求证：BD平分∠CDE；
（2）过点B作BF∥CD交DE于点F，若BE=4，sin∠BOD=$\frac{4}{5}$，求线段BC的长．

Answer 1

分析 （1）由CD是⊙O的切线，得到∠CDB+∠ODB=90°，由DE⊥AB得到∠EDB+∠OBD=90°，然后根据等角的余角相等即可得到结论；
（2）由∠CDO=90°，sin∠BOD=$\frac{4}{5}$，设CD=4k，OC=5k由勾股定理得到OD=$\sqrt{O{C}^{2}-C{D}^{2}}$=3k，通过△COD∽△DOE，列比例式即可得到结论．

解答 （1）证明：∵CD是⊙O的切线，
∴∠CDO=90°，
∴∠CDB+∠ODB=90°，
∵DE⊥AB
∴∠DEB=90°，
∴∠EDB+∠OBD=90°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠CDB=∠BDE，
∴BD平分∠CDE；

（2）解：∵∠CDO=90°，sin∠BOD=$\frac{4}{5}$，
∴设CD=4k，OC=5k，
∴OD=$\sqrt{O{C}^{2}-C{D}^{2}}$=3k，
∴OB=3k，BC=2k，
∵∠ODC=∠OED=90°，∠DOE=∠DOC，
∴△COD∽△DOE，
∴$\frac{OD}{OE}=\frac{OC}{OD}$，
∴OD²=OE•OC，
即（3k）²=（3k-4）•5k，
解得：k=$\frac{10}{3}$，
∴BC=2k=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，角平分线的判定，三角函数，相似三角形的判定和性质，找准△COD∽△DOE是解题的关键．