Question

1．将一副三角板按如图摆放，其中△ABC为含有45度角的三角板，直线AD是等腰直角三角形ABC的对称轴，且将△ABC分成两个等腰直角三角形，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点，有下列四个结论：①BD=AD=CD②△AED≌△CFD③BE+CF=EF④S_{四边形AEDF}=$\frac{1}{4}$AB²．其中正确结论是①②④（填写正确序号）

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD，故①正确，∠CAD=∠B=45°，根据同角的余角相等求出∠CDF=∠ADE，然后利用“角边角”证明△ADE和△CDF全等，判断出②正确，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF、BE=AF，求出AE=CF，根据BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF＞EF，判断出③错误；根据全等三角形的面积相等可得S_△ADF=S_△BDE，从而求出S_{四边形AEDF}=S_△ABD=$\frac{1}{4}$AB²，判断出④正确．

解答 解：∵∠B=45°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
∴AD=CD=BD，故①正确；
AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴∠EAD=∠C，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CDF}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（ASA），故②正确；
∴DE=DF、BE=AF，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；
∵AE=AB-BE，CF=AC-AF，
∵BE+CF=AF+AE
∴BE+CF＞EF，故③错误；
∵△BDE≌△ADF，
∴S_△ADF=S_△BDE，
∴S_{四边形AEDF}=S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD²=$\frac{1}{4}$AB²．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等的性质，熟记三角形全等的判定方法并求出△ADE和△CDF全等是解题的关键．