Question

在矩形ABCD中，AB=3，BC=3

3

，∠ABC=90°，BD为矩形的对角线，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,矩形的性质

专题：

分析：根据轴对称求最短路线的方法得出M点位置，进而利用等边三角形的性质与判定以及锐角三角函数关系求出MC+NM的值．

解答：解：如图所示：由题意可得出：作C点关于BD对称点C′，连接BC′，
过点C′作C′N⊥BC于点N，交BD于点M，连接MC，此时CM+NM=C′N最小，
∵AB=3，BC=3

3

，
∴CD=3，
∴tan∠DBC=

3

3 3

=

3

3

，
∴∠DBC=30°，
∴∠C′BC=60°，
∵BC=BC′，
∴△BCC′是等边三角形，
∴sin60°=

NC′

BC′

=

3

2

，
∴NC′=MN+MC=3

3

×

3

2

=

9

2

．
故答案为：

9

2

．

点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及锐角三角函数关系应用，利用轴对称得出M点位置是解题关键．