Question

18．如图，点P是直线l：y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x²于A、B两点，试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA=AB成立．

Answer 1

分析 首先设P（a，-2a-2），A（m，m²），再表示出B点坐标，进而利用根的判别式求出，无论a为何值时，关于m的方程总有两个不相等的实数根，进而得出答案．

解答 证明：设P（a，-2a-2），A（m，m²）．
如图所示，

分别过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为点G、E、F．
∵PA=AB，∴AE是梯形PGFB的中位线，
∴GE=EF，AE=$\frac{1}{2}$（PG+BF）．
∵OF=|EF-OE|，GE=EF，
∴OF=|GE-EO|
∵GE=GO-EO=m-a，EO=-m，
∴OF=|m-a-（-m）|=|2m-a|，
∴OF=2m-a，
∵AE=$\frac{1}{2}$（PG+BF），
∴BF=2AE-PG=2m²+2a+2，
可得：B（2m-a，2m²+2a+2）．
∵点B在抛物线y=x²上，
∴2m²+2a+2=（2m-a）²
整理得：2m²-4am+a²-2a-2=0．
△=8（a+1）²+8＞0，
∴无论a为何值时，关于m的方程总有两个不相等的实数根．
即对于任意给定的点P，抛物线上总能找到满足条件的点A，使得PA=AB成立．

点评 本题考查二次函数与一次函数的图象与性质、梯形及梯形中位线、一元二次方程等知识点，掌握二次函数、一次函数点的坐标特征，正确表示出B点坐标是解题关键．